Geomantik 1

Hallo Verdruss,

Vielen Dank für die Durchsicht des neuen Unterrichtes. Gerne w�rde ich Deine Anregungen zur Verbesserung aufgreifen, doch verstehe ich den einen oder anderen Teil nicht, so wie ich auch den Eindruck habe, dass es Dir nicht anders geht. Konkret:

Sie schrieben:
Wenn tatsaechlich ∀ x∈V : {x,x} ∉ E, wie Sie es in der ersten Bedingung eines Labyrinthes darlegen, kann unmoeglich die Bedingung
∀ x₁∈V : ex. kein W=(x₁,...,x_k, x₁) : {x₁,x₂}, ...,{x_k,x₁} ∈ E
erfuellt werden...

Prinzipiell ist dies kein Problem. Zum Beispiel V = {x₁, x₂, x₃}, E = {(x₁,x₂), (x₂, x₃), (x₁, x₃)}
Es ist für kein i=1..3 (x_i, x_i) in E, jedoch existiert W=(x₁,x₂,x₃,x₁) mit {x₁,x₂}, {x₂,x₃}, {x₃,x₁}in E.

...da durch das Gesetz der Beherschen Gleichsamigkeit
(x₁,...,x_k, x₁) : {x₁,x₂}, ...,{x_k,x₁}
immer Teil von V sein muss...

Leider kenne ich dieses Gesetz nicht. Um Deinem Gedankengang folgen zu können und meine Neugierde zu befriedigen w�re ich sehr dankbar und wissbegierig, welche Aussagen hinter diesem Gesetz stecken. Jedoch kann eine zweielementige Menge nat�rlich kein Element von V sein (Ausser für Beher w�re recht vieles Gleichsam... )

...da ∀ x∈V : {x,x} ∉ E, gleichzeitig aber gesagt wird, das V ∉ E

da V Teilmenge des ℜⁿ ist und E Teilmgenge des ℜ^nxn ist V definitiv nie in E enthalten, auch wenn man dies durch eine Einbettung nat�rlich bewerkstelligen kann. Durch Produkttopologie auch stetig. Meinst Du dies? (Ich bin wirklich gespannt auf Behers Aussagen.)

...was unter diesen Umstaenden leider nicht moeglich ist. Tatsaechlich muessten wir die dritte Bedingung etwas um schreiben:
∀ x₁∈V : in. kein W=(y₁,...,y_k, y₁) : {y₁,y₂}, ...,{y_k,y₁} ∈ E
so dass am Ende die Regel 3 des Beherschen Gleichsamigkeitsgesetztes erfuellt ist. Was allerdings dadurch nicht geklaert ist, was wir mit den Irrgaerten machen. Moeglichweise kommt das das Rubikische Wuerfelgesetz zum Tragen, um
∀ G_t=(V_t,E_t) : V_t ⊆ V, E_t ⊆ E → G_t ist nicht hom�omorph zu K₅ oder zu K_3,3
in ein 3-D Feld zu uebertragen

Dies d�rfte schwierig werden, da die Orthogonale Gruppe im R2 recht sp�rliche Kranzprodukte erzeugt.

...damit
∃x_s ∃ x_z ∈V : x_s≠ x_z, |{y ∈ V : {x_s,y, z} ∈ E}| = 1 und |{y ∈ V : {x_z,y, z} ∈ E}| = 3
entspricht. Das muesste man aber einmal genauer durchrechnen.

Eine Interessante Idee, wobei hier die Orientierung der Tripel Schwierigkeiten bereiten d�rfte. Zu Unteruchungen solcher Irrg�rten wie Minas Tirith w�re eine solche Theorie sicher Interessant. Da aber K₅ und K_3,3 ausgeschlossen werden, gen�gt der ℜ² vollauf.

Auch Aufgabe 2 konnte ich leider nicht bearbeiten, da sich eine Skizze nur auf einen 2-Dimensionalen Bereich beziehen kann und nur dort eine entsprechendes Ergebnis liefert, wir aber fuer unsere Kurve eine 3-D Darstellung brauchen, da ja ℜⁿ mit n>2 gilt und C eine (n-1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des ℜⁿ besitzt. Damit laesst sich leider keine Skizze erstellen, hoffe aber, dass meine Erlaeuterungen Ihnen geholfen haben, die naechte Lektion besser vorzubereiten.

Hier hast Du Dich leider verlesen. Die Aufgabe "Mit der Abbildung aus Satz 2' ist aufgrund der Konvexit�t ..." bezieht sich ausdr�cklich auf
Satz 2':
Es existiert eine Bijektion f : ℜ²→ℜ² mit stetigem f und f^-1 für die f(C)=S¹ und f(K₁)={x∈ℜ² : ||x||<1} sowie f(K₂)={x∈ℜ² : ||x||>1} gilt.
Hier befinden wir uns also tats�chlich im zeichenbaren Bereich. Falls Du die korrekte Skizze noch nachreichen m�chtest, kannst Du sie mir gerne mit den Beherschen Gesetzen zukommen lassen.

Liebe Gr��e Prof. Topos

Sehr geehrter Professor Topos!

Mit viel Neugier habe ich Ihre Antwort auf meine Einsendung an sie gelesen. Leider war vieles fuer mich nicht ganz begreifbar, da mein E-Mail-Programm so gut wie alle Sonderzeichen vernichtet hat. Darum moechte ich sie darum bitten, mir, wenn moeglich, noch einmal die Lektion mit richtigen Rechnugszeichen zu schicken.
Gleichsam interessiert mich dieses Thema sehr stark und moechte mit Ihnen darueber reden...

Hallo Verdruss,

den Eindruck, dass Du Dich für die Thematik interessierst und auch einiges Hintergrundwissen besitzt, gewann ich bereits beim Durchlesen Deiner Mail; auch wenn das Datum 1. April zwischen den Zeilen ebenfalls zu erkennen war.

...
Der wichtigste Punkt Deiner Korrekturvorschl�ge bezieht sich auf das Behersche Gleichsamkeitsgesetz. Da ich dieses wirklich nicht kenne, kann ich leider gar nichts dazu sagen.
Wenn ich, wie Du vorschl�gst, meine Forderung
L3) für jedes x₁ in V gibt es keine Folge W=(x₁, x₂, ... x_k, x₁) für die jedes {x₁, x₂}, {x₂, x₃}, ... ,{x_k, x₁} in E liegt.
durch diese Formulierung ersetze
V3) für jedes x₁ in V gibt es keine Folge W=(y₁, y₂, ... y_k, y₁) für die jedes {y₁, y₂}, {y₂, y₃}, ... ,{y_k, y₁} in E liegt,
so erkenne ich zwei Sachen.
Zum Einen machst Du nach Einf�hrung von x₁ keine weitere Aussage mehr über dieses Element von V, zum Anderen ist Dies in der Tat nicht n�tig. Daraus folgt wieder zweierlei: Erstens stellt Deine Formulierung keine Ver�nderung der Meinigen dar, zweitens hast Du implizit eine Verk�rzung dieser Forderung eingef�hrt:
Es gen�gt zu fordern, dass es keine Folge W = (x₁, ... x_k, x₁) [oder y₁,...y_k, y₁] gibt, für die Paare von aufeinanderfolgenden Punkten in E liegen.

Doch gebe ich Dir recht: für |V|>1 (ansonsten ist E sowieso wegen L1 leer) gibt es wegen L2 ein x₂ in V mit {x₁, x₂} in E. Damit ist auf alle F�lle W = (x₁, x₂, x₁) eine Folge, die meiner Forderung widerspricht. Folglich betrachte ich aufgrund dieser Forderung nur leere Graphen.
Dies habe ich wohl auch bemerkt, denn L6 ist genau die Aussage, die ich eigentlich im Kopf hatte und bei der Beschreibung von Irrg�rten ohne Kreiswege in L3 nicht wiedergefunden hatte (da sie, wie Du richtig erkannt hattest, falsch formuliert ist.)
Daher sollte im Unterricht L3 gestrichen und durch eine zu L6 �quivalente Forderung ersetzt werden.

Zur Verdeutlichung der Forderungen L1-L6 \ L3:
Mein Ansatz zur Modellierung eines Labyrinths oder Irrgartens ist es ja, die an Labyrinthen interessante Stellen wie Wegbiegungen durch Zahlen x₁ ... x_n darzustellen. Bei Irrg�rten werden eher Kreuzungen und Sackgassen durchnummeriert.
Die Verbindungen zwischen den einzelnen Stellen des Labyrinthes oder Irrgartens werden durch ungeordnete Mengen {x_i, x_j} ausgedr�ckt (ungeordnet, da man einen Gang in beide Richtungen durchlaufen kann).

Da ein Labyrinth (im Gegensatz zu einem Irrgarten) keinerlei Abzweigungen besitzt, kann ich vom Start nur zu einem einzigen weiteren Punkt (z. B. der n�chsten Wegbiegung) gelangen und von dort aus entweder den gleichen Weg zur�ck oder zu einem einzigen weiteren Punkt.
L1 schliesst in sich geschlossene Wege aus
L2 stellt sicher, dass von jedem Punkt jeder andere Erreichbar ist (sonst h�tten wir mehrere Disjunkte Labyrinthe/Irrg�rten)
L3 sollte schliesslich aussagen, dass es in einem Labyrinth keine Kreiswege gibt (siehe dazu L6)
L4 definiert den Start und das Ziel und stellt sicher, dass es keine Sackgassen in einem Labyrinth gibt.

Da in einem Irrgarten Kreiswege vorkommen d�rfen, f�llt L3 für Irrg�rten weg.
Ebenso können Sackgassen auftreten, so dass L4' nur noch die Existenz von Start und Ziel sichern muss.

zu L5: Mit den Kreiswegen kommt jedoch ein Problem auf die Irrg�rten zu. Da ich mich allein auf Irrg�rten im zweidimensionalen Raum beschr�nke, d�rfen sich G�nge nicht ohne Kreuzungspunkt schneiden (im 3D k�nnte man Br�cken oder Tunnel bauen). Daher fordere ich, dass mein Irrgarten planar ist und bediene mich, um es komplizierter zu gestalten, des Satzes von Kuratowsky, welcher planare Graphen als solche ohne die beiden nicht-planaren Graphen K₅ (vollst�ndiger Graph mit f�nf Punkten) und K_3,3 (vollst�ndiger bipartiter Graph mit zwei Dreiergruppen) als Teilgraphen identifiziert.

Soweit meine Erl�uterungen zu meiner Antwort auf Deine Anmerkungen.
Eine kurze Darstellung der Beherschen Gesetze (oder eine Literaturangabe dazu) w�rde mich �usserts interessieren.

Liebe Gr��e Prof. Topos

Hallo, Professor!

Ich schaetze, ich muss Ihnen ein Gestaendnis machen. Ich habe meine "Hausaufgabe" als reinen Aprilscherz gesehen, so wie ich auch dachte, zu Unrecht, wie ich jetzt herausfand, dass es auch Ihre Lektion war. Dementsprechend: Es gibt keine Beherschen Gleichsamigkeitsgesetze, jedenfalls nicht das ich wuesste, und so viel Hintergrundwissenm wie sie vielleicht meinen, habe ich auch nicht.
Nichtsdestotrotz interessiert mich dieses Thema wirklich, nur fehlt es mir wohl erstmal an der noetigen Fachkenntnis, nichtmal verstehe ich ihre erste Definition eines Labyrinthes, also G = (V , E) wobei V = ℜ² und so weiter. Ich verstehe einfach nicht, was jeweils V und was E beschreibt. Auch sind einige Zeichen mir vollkommen neu bsp. ∀ dieses. Ist mir fuerher nie untergekommen...

Ich hoffe, sie sind nicht allzu enttaeuscht, und ich entschuldige mich dafuer, ihnen Ihre wertvolle Zeit gestohlen zu haben :-)

MfG Verdruss

Hallo Verdruss,

für gelungene Scherze braucht man sich nicht zu entschuldigen. Sehr beeindruckend finde ich indess, wie filigran Du nichtexistende Gesetze nutzt, um zielstrebig die leider sehr wohl existenten Definitionsl�cken aufzudecken (die im späteren Verlauf der Lektion auftretenden Defizite erlaube ich mir noch, vor Dir zu verbergen, um Dir den Spa� am selbst-entdecken nicht zu rauben. Da ich diese Lektion in der Tat nur als Scherz konzipiert hatte und deutlich mehr Zeit für das Schreiben als für die Konzeption des Inhalts verbraucht habe, gibt es noch einiges zu bem�keln.)

An Fachkenntnis braucht es nicht all zu viel, ich habe mir nur die M�he genacht, einfachste Sachverhalte möglichst kompliziert darzustellen.

Relevant sind ein paar Grundkentnisse über Mengen.
So sind zum Beispiel zwei Mengen gleich, wenn sie die selben Elemente enthalten. Damit sind die Menge {a, b, c} und die Menge {c, c, c, b, a, b, a, b} gleich.
Insbesondere k�rzen sich Mehrfachnennungen einfach weg und werden als ein Element gez�hlt.
Weiter benutze ich ein Mengenprodukt, indem ich (ungeordnete) Paare betrachte. Zur Menge A = {a, b, c} kann ich das Produkt P = AxA = { {x,y} : x in A und y in A} definieren.
Dies ist die Menge aller zweielementigen und einelementigen Mengen von A.
für unser Beispiel kann ich dies ausschreiben:
P = {{a,a}, {a,b}, {a,c}, {b,a}, {b,b}, {b,c}, {c,a}, {c,b}, {c,c}} = {{a}, {b},{c},{a,b}, {a,c}, {b,c}}

Ansonsten benutze ich den sogenannten Allquantor (das umgedrehte A) und den Existenzquantor (das umgedrehte E). Dies sind g�ngige Bezeichnugnen aus dem Bereich der Mengenlogik, die nichts anderes machen, als Aussagen über Mengen abzuk�rzen.
Der Allquantor angewandt auf eine Menge bedeutet: für alle Elemente dieser Menge gilt... und dann kommt die Aussage.
So bedeutet: (umgedrehtes A)i=1..n : 1+ i -1 = i nichts anderes als dass für alle Zahlen von 1 bis n beim Addieren und gleichzeitigen Subtrahieren von 1 wieder dieselbe Zahl herauskommt.
Der Existenzquantor anewandt auf eine Menge sagt aus, dass in dieser Menge mindestens ein Element existiert mit der nachfolgenden Eigenschaft.
(umgedrehtes E)x in A : {x} in P bedeutet also, dass in unsere Beispielmenge A ein Element x = a, b oder c exisitert mit der Eigenschaft, dass die einelementige Menge {x} = {a}, {b} oder {c} in P = AxA liegt. Dass dies für alle Elemente von A zutrifft, st�rt den Existenzquantor nicht. Es gibt deshalb noch den Existenzquantor (umgedrehtes E mit einer hochgestellten 1); dieser k�rzt ab : es existiert genau ein Element... Also sagt (umgedrehtes E mit einer hochgestellten 1)i in {x in ganzen Zahlen : 0 < x < 100} : i=10 nicht anderes, als dass in der Menge der ganzen Zahlen von 1 bis 99 genau eine Zahl vorkommt, die gleich 10 ist.

Man kann das auch alles Kombinieren:
(umgedrehtes A)x in A (umgedrehtes E mit hochgestellter 1) p in P : {x} = p
Dies besagt ausgeschrieben folgendes:
für alle Elemente x der Menge A (also a, b oder c) gibt es genau ein Element der Menge P (also {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c} oder {b,c}) mit der Eigenschaft, dass {x} = p ist. Dies ist Korrekt, denn mit x = a ist {a} das einzige solche Element, für x=b eben {b} und mit x=c ist es {c} in P.

Jetzt noch kurz ein paar Worte zu meiner Definition eines Irrgartens:

Ein Irrgarten besteht im Allgemeinen aus Wegen und Kreuzungen. Man hat einen Eingang und vielleicht auch ein Ziel im Inneren.
Der erste Schritt zur Verkomplizierung ist es nun, Start, Ziel und die Kreuzungen als Punkte in der Ebene zu betrachten und diese Punkte durchnummeriert in der Menge V zusammenzufassen: V = {x₁, ...,x_n : x_i in ℜ²}.
Danach sind die Wege dran.
Die Wege verbinden je zwei Kreuzungen (incl. Start und Ziel). Daher ist ein Weg durch die Punkte, zwischen denen er verl�uft, definiert, so dass ich den Weg zwischen Punkt x₃ und x₆ als {x₃,x₆} beschreiben kann
[Hinweis: prinzipiell können mehrere verschiedene Wege zwischen x₃ und x₆ existieren.]
Ich verwende hier wohlweislich eine Mengenschreibweise und keine Vektorenschreibweise (x₃,x₆), da für Mengen gilt: {x₃,x₆} = {x₆, x₃}, w�hrend es bei Vektoren -besser geornete Mengen- sehr wohl auf die Reihenfolge ankommt.
Damit erreiche ich implizit, dass man Wege vorw�rts und r�ckw�rts durchlaufen kann.
[Die Definition über geordnete Mengen ist für andere Belange sehr n�tzlich und ich werde beizeiten (n�chstes Semester ;) ) darauf zur�ckgreifen]
Damit ist ein Weg ein Element von VxV.
Ich habe Dir ein Word-Doc mit Beispielgraphiken angeh�ngt, in dem auch ersichtlich wird, für welche Irrg�rten meine Definition brauchbar ist und für welche man die gegebene Definition erweitern muss (zum Beispiel mit geordneten Mengen).
Vielleicht macht es Dir Spa�, eine Allgemeinere Definition für Irrg�rten auszuarbeiten.

für weitere Fragen und Anregungen habe ich immer eine offene Mailbox.

Liebe Gr��e und frohe Ostern, Prof. Topos

Irrgarten 1

V = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇}
E = {{x₁, x₂}, {x₂, x₃}, {x₂, x₄}, {x₂, x₆}, {x₄, x₅}, {x₄, x₆}, {x₆, x₇}}

L1)

für alle x in V gibt es keine einelementige Menge {x} in E.

L2)

für je zwei verschiedene x_a, x_b in V gibt es einen Weg W = (x_a, x_c, x_d, � x_r, x_k )
[Achtung, ein Weg ist eine geordnete Menge, das hei�t, es kommt auf die Reihenfolge der Elemente innerhalb der Klammer an]
mit {x_a, x_c}, {x_c, x_d}, � {x_r, x_k} in E.
Dies bedeutet nichts anderes, als dass man von jedem beliebigen Punkt im Irrgarten zu jedem anderen gelangen kann.

L4')

es gibt mindestens zwei Punkte, von denen nur ein Weg abgeht (damit man einen Startpunkt und ein Ziel definieren kann).
Im Beispiel ist x₁, x₃, x₅ und x₇ solch ein Punkt.

L5)

K5

K3,3

Diese beiden Graphen lassen sich nicht so zeichnen, dass sich kein Weg mit einem anderen kreuzt. Alle anderen Graphen mit dieser Eigenschaft enthalten einen oder beide dieser Graphen.
Unser Beispielgraph enthält keinen der Beiden , also ist unser Irrgarten planar.

Irrgarten 2 (leichte Variation von Irrgarten 1)

Der Graph enthält zwischen x₂ und x₃ sowie zwischen x₆ und x₇ je zwei Wege.
Da aber E = VxV als Menge von Mengen keine zwei gleichen Mengen enthält
( {{x₁,x₂}, {x₂, x₃}, {x₂, x₃}, {x₂, x₇}, {x₃, x₄}, {x₄, x₅}, {x₄, x₆}, {x₆, x₇}, {x₆, x₇} } = {{x₁,x₂}, {x₂, x₃}, {x₂, x₇}, {x₃, x₄}, {x₄, x₅}, {x₄, x₆}, {x₆, x₇} } ),
kann meine Definition keinen solchen Irrgarten darstellen.
Man k�nnte mit geordneten Paaren arbeiten, damit k�nnte man in der Menge V (x₂, x₃) und (x₃, x₂) auseinanderhalten. Wenn es allerdings drei Wege zwischen zwei Punkten gibt, reicht das auch nicht.
Man k�nnte anders herum E ebenfalls als geordnete Menge schreiben und k�nnte dann beliebig viele geordnete Punktepaare auflisten:
((x₂,x₃), (x₂, x₃), (x₂, x₃), �)
Allerdings werden dann die notwendigen Einschr�nkungen L1� L6 ziemlich unübersichtlich. W�re aber vielleicht einen Versuch wert.
Eine dritte M�glichkeit w�re es, die Vielfachheit eines Paares mit aufzunehmen und ein Element von E als geordnete Menge aus VxV und einer Zahl zu schreiben: z. B. ({x₂,x₃}, 2) ∈ (VxV)xN.
Damit w�re in diesem Beispiel
E = {({x₁,x₂},1), ({x₂, x₃}, 2), ({x₂, x₇}, 1), ({x₃, x₄}, 1), ({x₄, x₅}, 1), ({x₄, x₆}, 1), ({x₆, x₇},2) }.

Hallo, Herr Professor!

Vielen Dank, dass sie sich die Zeit nehmen, einem kleinen Schueler all das zu erklaeren :-) Tatsaechlich macht durch Ihre Erklaerungen jetzt alles mehr oder weniger einen Sinn, Nur L5 und alles weitere dahinter entzieht sich noch meinem Verstaendnis. Aber gut, da werde ich vielleicht einfach noch mal selber weiter drueber nachdenken, vielleicht komme ich ja noch drauf.
Was ich noch als Idee hatte zum Thema des allgemeinen Irrgartens: Waere es theoretisch vielleicht sogar moeglich, die Formeln so zu gestalten, dass nicht nur der Graph danach gezeichnet werden kann, sondern sogar auch eine wirklich Zeichnung? Waere wahrscheinlich tausendmal komplizierter und vielleciht auch nicht umsetzbar, aber so waere auch das Problem mit den doppelten Wegen geklaert. Theoretisch stelle ich mir das vor, dass man vielleicht nicht nur die Kreuzungen, sondern auch Kurven mit einer Variable belegen koennte, in der dann steht, um wieviel Grad die Kurve abknickt. Ginge in Kreislabyrinthen natuerlich gar nicht. so koennte man auch in den doppelwegen die einzeleen Wege genauer definieren, da es ja keine Wege gibt, die alles gleich haben koennen, da diese einfach uebereinanderlaegen. Natuerlich muesste man dann auch bei den Kreuzungen immer die einzelnen Moeglichkeiten mit Gradzahlen eintragen. Oder man zerlegt die Kreuzungen in verschiedene Kurven.
Das sind auch alles nur Ideen, die mir beim Durchlesen Ihres wunderbaren, aufschlussreichen Word-Dokuments gekommen sind, und ich habe keine Ahnung, ob das umsetzbar waere.

Ich wuensche Ihnen noch schoene Feiertage!

Verdruss